綜合學術討論

是

就連組員奇數時也會發生
請尊重廢票權

組員的數量為「質數」，可減少同票問題

比較嚴肅的投票通常都會設法讓選項縮到兩個，
方法是每次淘汰一半，
或著每個人可以在投票上加上權重，做基本篩選，
現實世界的奧運會就是這種作法，
漫畫世界裡面，獵人選舉也是這樣，

然後只要讓同數人時主席多一票或著不記入就能解決問題。

紅翼行動那時也是在表決要不要殺了那三個平民時無法決定
最後用抽籤的

殺了三個無辜平民結果是走軍事法庭
這個故事是單方面的發言，因為其他三名成員已經死了
事件發生後，第十隊幾乎停止存在。

SAS也聲稱他們的行動摧毀導彈發射器也是災難。 因為伊拉克牧童發現了他們。 十年後，英國記者找到了長大的牧童，他說他沒有看到任何人。 但他和村民聽到了直升機的聲音。

結論是由於情報不佳，行動從一開始規劃就是失敗的。

>>No.189663
投票人數要和主題的數量互質(一人一票的前提)
或是投票人數和總票數互質

希望不算推舊文。

問題：考慮r人投票想從n個選項中選出1個 (r,n>=2)，有沒有一種投票結果是為平手。

固然原po問的r為偶數時，必定有平手的機會。
n>=3時，更是無論r為何，也是必定有機會平手。
反過來，其實只有r為奇數而n=2時，能保證不會平手。

以上定論，即使引入一人有多票，
甚至票有不同比重 (如每人有1票值1分、1票值2分)，
或加上一人不能投同一項多於若干分等，五花八門的規則，
也不能推翻。

補充一下以上不考慮棄權的情況。
還能棄權的話，人人都全棄權不就當然平手，本題秒殺。
其實容許了也是變成：r為奇數，n=2時，也能平手而已。

先詮釋好命題。
r人投n項可視為選出r個n維數組，數組取值非負整數 (甚至推廣到實數或任意有全序的集)。
投票結果是將數组加總 (可推廣到任意公平，且對r變量中每個都嚴格遞增的函數f)，然後數值最大的勝出。
若最大者非唯一，則稱為平手。

而上面一人多票、比重和添加的規則，全可透過限定每人可選的n維數組的形式，表達出來。
如普通的一人一票，可選的數組有 (1,0,...,0), (0,1,...,0), ..., (0,0,...,1)。
如一人2票，不能投給同一項，就是要求數組有2項1，其餘皆0。
類推，一切附加的規則都可表達成一個包含所有可選數組的集。

不過為保證選項間地位公平，這數組集S應符合：
設p為對n維數組的重排列 (permutation)，若x屬S則p(x)屬S。
比方說容許2票都投第1項 ( (2,0,...,0)屬S )，
必需也容許2票都投第2項 ( (0,2,...,0)屬S )。

上面提過的公平函數f，也用排列的說法定為：
對任意數組(a_1,...,a_r)，其重排列q，符合f(x_1,...,x_r)=f(q(x_1,...,x_r))。
即r人投票先後沒有影響。

那麼現在看有偶數r人時，要構造平手，可令r人平分成兩組，
然後一組全人投 x=(a_1,a_2,...,a_k,...)，不失一般性可使a_1>=a_2，其餘任一a_k<=a_2，
而另一組全人投 y=(a_2,a_1,...,a_k,...)，即首兩項和第一組相反投，其餘全一樣地投，
由選項公平原則確保可這樣投。

記這樣的投票結果是 u=(u_1,u_2,...,u_k,...)，有
u_1=f(a_1,...,a_1,a_2,...,a_2)，其中a_1,a_2各有r/2項，f是將r人對此項投的票數加總的函數，
u_2=f(a_2,...,a_2,a_1,...,a_1)，亦然各有r/2項。
由投票先後無關原則可知u_1=u_2，即首兩選項同票。

還需證明任意其他第k項票數不超過首兩項，驗之
u_k=f(a_k,...,a_k) (有r項)
<=f(a_1,...,a_1,a_k,...,a_k) (據f嚴格遞增，前一半換成a_1)
<=f(a_1,...,a_1,a_2,...,a_2) (後一半換成a_2)
=u_1=u_2。
因此首兩項就是最高票者，也可能有其他同票，總之出現了平手。

白話說就時一人怎樣投，另一人就跟隨，但將他投首兩高票的掉換投，抵銷掉首兩名的差距。

然後看人數r是3的倍數，選項有n>=3個時，如上炮製，平分3組，分別全人投
x=(a_1,a_2,a_3,...,a_k,...)，
y=(a_2,a_3,a_1,...,a_k,...)，
z=(a_3,a_1,a_2,...,a_k,...)，
即首三項票數如上輪轉，其餘全一樣地投，使a_1>=a_2>=a_3，其餘a_k<=a_3。
(可留意要求n>=3就是因為這次多了a_3。)
和上段同理可得首三項平手的結論。

有了這些拼圖就收集好了。
項數n>=3時，對任意人數r>=2，
r必能表成非負偶數和三的非負倍數的和：n=2s+3t，s,t>=0
2s的一部分人按偶數人數的段落，投成首兩項平手，
3t的一部分人按人數三的倍數的段落，投成首三項平手，
再將兩部分人的結果加總，易知首兩項還是平手。

最後未論述到的只n=2的情況。
若人數是偶數，落入上面證過的情形，必有機會平手。
若人數是奇數，顯然一般一人一票的投票已可保證不會平手。

一切n、r的組合經已拆解過。
要杜絕平手，多票、比重、其他附加規則都不能保證做到，
奇偶、互質的特性也非絕對 (除了只有兩選項時)。

不過也不是說以上的就沒用，以上是證明了不能完全避免平手，
但端看每人投票意願，還是有可能減低平手機會的。
如r人互選領袖，人人都想當，一人一票並且能投自己的話，當然會全投自己，沒完沒了。
規定不能投自己就很機會能分高下了 (非一定，考慮三人，A投B，B投C，C投A)。
等價的規定還有一人兩票而不能都投同一人，等等。

另外，問題還可伸延，再作思考：r人投票想從n個選項中選出m個而非只選出1個，又會如何？