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檔名:1511276013847.jpg-(150 KB, 1182x790) [以預覽圖顯示]
150 KB概率及期望值計算 名稱: 無名氏 [17/11/21(二)22:53 ID:r/owKcEQ] No.187674  +   
某手遊新加了補底掉出
在最稀有本身為3%掉出率之下, 新增了前32發不出的話, 33發必出
那一發的期望值要怎麽算
某A君用模擬方式得出期望值約為0.047
某B君用了一條我看不懂的數式給出答案為0.0472

所以請教
這個其實是怎麽算出來的
無標題 名稱: 無名氏 [17/11/21(二)23:56 ID:N9VOspoY] No.187676  +    
抽中一次所需要的次數為:
1*3% +
2*97%*3% +
3*97%*97%*3% +
4*97%*97%*97%*3% +
... +
32*97%^31 *3% +
33*97%^32 *100%
≒ 21.1337次 ,電腦算出來的
取倒數約為0.047318
換句話說,你如果砸了一萬抽下去,期望會抽到473次

要注意的是如果你半途而廢、把保底累積次數丟掉不用的話,期望值會變低
以上算法是假設你每次一定要抽到中獎才停,或是抽了近乎無限次的情況下才成立
但再低也不會低過3%

這個題目看似簡單但其實滿複雜的
會有很多個看起來好像都可行但答案算出來不太一樣的算法
以上是我認為比較正確的算法
雖然跟你兩個朋友的數字都不一樣但也都很接近
反正你體感是感受不出4.7%跟4.73%的差別的
無標題 名稱: 無名氏 [17/11/22(三)00:25 ID:TO4u/5GM] No.187677  +    
模擬的0.047八成是懶的跑更多次
我跑1千萬次也只有0.0473是穩定的,測試結果大概10萬次左右就是0.047是穩定
至於0.0472可能是某個地方算錯了吧,不拿出她的算式來很難說
無標題 名稱: 無名氏 [17/11/25(六)12:32 ID:ykCEKm/w] No.187735  +    
>> No.187676
這是正確的算式

每一行是:
正好於n次數抽中的機率 × n(即所抽次數)

把全部可能性(如1~33)加起來 便是抽中一次大獎所需平均次數

-----------------------------------------
設 a 是抽中的機率; r 是抽不中的機率
沒補底就是
∑ nar^(n-1)
n from 1 to ∞

有補底 第k發必出 則是
n from 1 to k-1
最後加一項 + kr^(k-1)

如果這條問題換成補底數值較低 例如3或4次便必出
高中程度也能算出
還不算複雜 但要算上33次 便很痛苦了

∑ ar^(n-1) 有很經典的公式可以快速算出
但現在當中多了個n在中間 而且又不是∞ 數值又不少
算起來便花功夫
-----------------------------------------
>>至於0.0472可能是某個地方算錯了吧
也可能沒算錯 而是round-off error
無標題 名稱: 無名氏 [17/11/25(六)20:51 ID:LpypjtXg] No.187737  +    
利用獨立事件的機率特性,也能避開要對以上∑求和

設 p 為抽中機率,q = 1-p
n 次抽不中則補底,下次必中

設 E = 1/p 為沒補底機制的期望需抽次數
F 為有補底的期望

假使沒補底機制,而現已抽了 n 次
由於每次抽獎事件獨立,此時仍期望需再抽 E 次才中

所以可寫 E = q^n (n+E) + x
其中 x 代表了 n-1 次內抽中的情況對期望 E 的貢獻
q^n 代表連續 n 次不中的機率,n+E 次代表此情況的期望

如此已有足夠資料算出 x
有補底的期望只需將 n+E 替換成 n+1 就行
F = q^n (n+1) + x

代人數值得 F ~= 21.13,吻合以上 No.187676
無標題 名稱: 無名氏 [17/11/25(六)21:05 ID:LpypjtXg] No.187738  +    
上面寫錯了一點,這句該是:
其中 x 代表了 n 次內抽中的情況對期望 E 的貢獻

另外嚴格來說,有補底下談論「一發的期望值」其實不太正確
因為第 33 抽的期望值保證為 1,與之前的期望不一致

0.0473 應說是「抽至抽中方止,期間平均每抽期望中奬的次數」
不如說期望要抽 21.1 次方中簡單些
無標題 名稱: 無名氏 [17/11/26(日)15:33 ID:L9vg42Y.] No.187739  +    
>>No.187737
漂亮
代入算式簡化後
F = E - (q^n) (E-1)

由於 E= 1/p ; q = 1-p
也可以寫作
F = (1/p) - (1-p)^n * (1/p-1)

p 是最稀有掉出率 ; n 是最大不出次數 (題目中為32)

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